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国家重点学科
国家重点学科——概率论与数理统计

学科概况
  北京师范大学数学科学学院概率论与数理统计学科,是国务院批准的第一批博士点学科,于1988年被国家教委评为高等学校重点学科,2002年被国家教育部再次评为高等学校重点学科。1999年设立了长江学者奖励计划特聘教授岗位。
  该学科目前有16位成员(其中13位获得博士学位),由老中青三代学术带头人和优秀青年教师组成,年龄结构合理,其中有中科院院士两人——王梓坤院士和陈木法院士,国家杰出青年基金获得者、长江学者特聘教授王凤雨,有李仲来、李勇、李增沪和崔恒建4位教授,还有4位副教授。另聘法国Bourgogne大学教授方诗赞为北京师大客座教授。

研究方向
  本学科主要研究方向包括粒子系统、谱理论与流形上的扩散过程研究,测度值过程及相关领域研究,稳健统计、统计模型及其实际应用研究。
  粒子系统、谱理论与流形上的扩散过程:该方向目前正致力于完善对马氏过程各种遍历性的研究、揭示各种泛函不等式更深层次的概率与分析内涵、应用于微分几何与数学物理的各种具体模型。由陈木法院士绘就的“遍历性联络图”,经由张余辉、毛永华副教授等人的共同努力正被逐步地实现,不久将形成一个范围相当广泛的完整理论体系。由王凤雨教授发展的泛函不等式、半群性质与谱理论的三位一体构架,联系着数学的多个分支学科,其一般理论也正在逐步完善之中。特别是对于谱的刻画,就具不变概率测度的自伴算子获得了重要突破和极为完整的结果。还计划将这一研究延伸至更一般的Hilbert空间上的自伴算子。作为上述理论的应用,也准备研究一些具体模型,以应用于微分几何和数学物理。目前正在把弱Poincare'不等式与十多个概率、分析性质联系起来,对一些典型的泛函不等式给出精确的判别法则,并力图获得精细的定量刻画。该方向的工作特点是,对若干重要的具体模型(如跳过程、粒子系统与扩散过程)进行深入研究,提炼出有效的理论根据,由此获得一般的理论体系并应用于更多领域的研究。因此,这些工作不仅深刻系统而且涉及面广。这一特点有利于不断地发现和提出新问题,开拓具有挑战性和广阔发展前景的新领域。陈木法院士是该方向资深学术带头人,不仅成果累累而且桃李芬芳,为我国概率论的发展做出了突出贡献,获国家教育部、霍英东基金会和求是科技基金会的多项重要奖励,先后访问过美、俄、法、英、德、加、意、日等18个国家和地区的61所大学和研究所,12次在国际会议上作特邀报告。王凤雨是新一代学术带头人,长江特聘教授、国家杰出青年基金、霍英东基金获得者,入选教育部首批新世纪百千万人才工程,先后获钟家庆数学奖、英国皇家学会研究基金、德国洪堡研究基金和教育部青年教师奖,并与陈木法一起获国家自然科学三等奖和教育部科技进步一等奖,先后访问英、美、法、德、俄、新加坡等国的16所大学和研究所。
  测度值过程及相关领域:测度值马氏过程(即超过程)是无穷粒子系统的高密度极限,在物理、生物、遗传等学科有广泛的应用背景。80年代末开始,超过程及相关研究逐步成为概率论中最活跃的研究方向之一。90年代初,在王梓坤院士倡导下,他的研究组开始进入这一研究领域。李增沪教授在移民过程的研究中提出了“斜卷积半群”的概念。他证明斜卷积半群与Dawson-Watanabe超过程的无穷可分概率进入律之间的1-1对应关系,并在此后的系列论文中发展了相应的移民过程理论。斜卷积半群作为开放系统的研究工具也适用于若干其它模型。例如,李增沪与Dawson等将斜卷积半群应用于广义Mehler半群的研究,给出了Hilbert空间值Ornstein-Uhlenbeck过程的完整刻画。而移民过程和OU过程相结合所产生的仿射过程可应用于物理、金融等模型的研究。斜卷积半群的概念已在国际同行的论文中使用。李增沪与国外学者合作利用狄氏型方法证明了Fleming-Viot超过程的可逆性的充要条件。FV超过程来源于基因遗传的研究,可逆性的充要条件曾是该领域长期的遗留问题。李增沪等的结果表明,具有可逆平稳分布的遗传系统的变异算子必然具有某种简单形式,因而有明确的遗传学含义。他们的结果引发了国内外学者对有关问题的后续研究。李增沪教授和洪文明副教授合作研究了随机控制下的移民过程,他们发现和证明的波动极限性质被认为是“令人惊讶的”现象。洪文明副教授和张梅博士在超过程的大偏差方面的研究也取得了多项重要成果。
  超过程研究组在国际同行中具有良好的声誉和影响。他们近年来论文的引用者包括D.A.Dawson (加拿大皇家学会会员、国际Bernoulli概率统计学会主席、Dawson-Watanabe超过程研究的开拓者)、E.B.Dynkin (美国科学院院士)、L.G.Gorostiza (墨西哥科学院院士)、E.A.Perkins (加拿大皇家学会会员)等国际一流学者。这从一个侧面体现了他们研究工作的学术水准。
  稳健统计、统计模型及其实际应用:该方向涉及到统计理论与方法及与之渗透交叉的学科的诸多领域(如林业、地震、生物信息等),并包括数据处理和实际应用。投影寻踪(PP)和极大经验似然方法是80年代所兴起的新兴统计方法,致力于高维、海量数据的降维处理和提高估计的有效性。崔恒建教授在PP检验统计量的P值计算,PP位置与散布阵的稳健估计等方面提出了简便而更有效的新方法,刻画了高维分布与估计稳健的内在关系。在半参数一阶PP回归模型的参数估计和若干PP经验过程的精确收敛速度方面进行了细致描述,得到其最优收敛速度和重对数律。他给出附加信息下参数的极大经验似然估计,彻底解决了带有估计方程的极大经验似然比置信区域的Bartlett Correction 这一困扰统计学界10多年的问题。与此同时,崔恒建在带有变量误差模型参数估计与检验方面提出了诸多新的理论和方法,获得了人们所渴望得到的各种优良性质及其计算结果,为众多后续研究打下了坚实基础。在稳健统计方面,他与Xuming He和Yijun Zuo等合作,在统计深度函数及其诱导估计方面进行了全面深入细致的研究,彻底解决了这一领域中长达20余年的两个猜想。他们的这些研究工作,为中国在国际稳健统计领域赢得了一席之地,为此2004年的国际稳健统计大会首次在中国举行,崔恒建与会并作大会邀请报告。不仅如此他还出访十多个国家和地区,与之建立了广泛的联系和合作研究关系。在林业、地震、生物统计、疾病控制、交通、质量管理,生存分析等应用方面,李勇教授、李仲来教授、张淑梅副教授、童行伟博士、李慧博士取得了一系列令人瞩目的应用研究成果。如李勇利用随机点过程研究地震孕育机理,利用统计方法研究气温、地下水、地形变化与地震活动性之间的关系等。李仲来成功地预报了1996年在内蒙古鄂尔多斯地区和1998年锡林郭勒草原暴发的动物鼠疫;利用统计方法发现沙鼠数量变动和鼠疫流行与降水量有关的结论对动物鼠疫预报有重要意义;利用变动指数得到锡林郭勒草原布氏田鼠密度的年际动态具有一定的周期性的结论对该种群生态研究将起到重要的推动作用;建立了4种动物鼠疫(长爪沙鼠、达乌尔黄鼠、阿拉善黄鼠和布氏田鼠)预报的数学模型,以及布鲁氏菌病预报的数学模型;研究了几种鼠类增长模型、蚤类波动规律和鼠蚤关系模型等。在2003的SARS疾病预测预报中,崔恒建和李仲来利用统计模型进行研究,为SARS的预测预报提供了有力的依据,受到国家疾控中心,中国科学院和李小文院士的高度重视。

研究成果
  概率统计研究群体历经三代人,已有40多年的传统和积累。1958年,严士健教授创建了概率统计教研室。 20世纪60年代, 严士健教授与王隽骧、刘秀芳教授在平稳过程方面取得突出成果。70年代末,严士健教授在国内倡导了粒子系统和随机场的研究方向,并与陈木法教授在国际上首次引进反应扩散过程这一非平衡粒子系统的典型模型,建立了系统的理论。陈木法教授的研究专著《From Markov Chains to Non-Equilibrium Particle Systems》(World Scientific 1992,第二版 2004)已成为国际上该领域的标准参考文献之一。王梓坤院士20世纪50年代末在马氏链方面取得当时国际先进水平的研究成果,并开始主持马氏过程讨论班,培养了我国几代的概率论人才。80年代他调入北京师大以后,与李占柄教授共同主持讨论班,并倡导了马氏过程与位势、多参数马氏过程和测度值过程(超过程)等研究方向, 其中李增沪教授在测度值移民过程方向的系统成果己逐步成为国内外同行继续研究的基础。从1988年开始,陈木法教授建立了“马氏过程的遍历速度与谱理论”的研究方向, 并与王凤雨教授在用概率方法估计第一特征值的研究方面取得了领先成果。研究小组在数理统计的线性模型、投影寻踪、极大经验似然估计、生物统计等若干课题研究中也做出了一批优秀成果。
  本学科群体先后获国家自然科学奖(2项)、教育部科技进步奖(3项)、何梁何利基金科学与技术进步奖(1项)、求是科技基金会杰出青年学者奖(1项)、霍英东青年教师奖(3项)、教育部青年教师奖(1项)和钟家庆数学奖(1项)等多项奖励;同时获国家自然科学基金委创新研究群体基金、霍英东研究基金(3人次)、国家杰出青年基金(1人次)、教育部优秀青年教师基金(1人次),德国洪堡基金(2人次),英国皇家学会研究基金(1人次),日本学术振兴会(2人次)等多项研究资助;1人入选教育部首批新世纪百千万人才工程。目前,承担973、国家自然科学基金委创新研究群体基金和杰出青年基金等15个项目。已出版专著和译著10余部。

人才培养
  该学科是我国培养概率论与数理统计高级人才的基地之一,自80年代以来,已为国家培养了大批活跃在科研和教学第一线的人才。已培养34位博士和150余位硕士。其中两人成为中国科学院院士,两人被评为有突出贡献的中国博士学位获得者。已编写和出版教材10余部,并获得国家级教学奖4项、国家级图书奖9项和个人荣誉称号8个。

国际交流
  多年来,该学科与美、俄、英、德、法、日、澳、意、加、港等许多国家和地区建立了经常性的合作交流关系,赢得了一定的国际学术地位,并有多人被邀请在国际会议上作大会报告。特别是陈木法院士被邀请在2002年世界数学家大会上作了45分钟报告。

 
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